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Mapa Mental sobre função modular (1)
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Resumo sobre função modular
A função modular é uma função elíptica meromórfica invariante sob transformações modulares de um retículo gaussiano de cima do plano complexo. É uma função essencial em teoria dos números, geometria e física.
A função modular possui várias definições equivalentes:
- Como uma série de Fourier de ordem 1/2 de um grupo modular.
- Como um quociente de funções eta de Dedekind.
- Como uma função automórfica associada a um grupo modular.
A função modular tem vários zeros e polos, conhecidos como “invariantes modulares”, que são números algébricos intimamente relacionados com as propriedades aritméticas do retículo gaussiano. A função também possui infinitas linhas de zeros e polos paralelos aos eixos real e imaginário.
A função modular tem inúmeras aplicações em várias áreas da matemática:
- Teoria dos números: A função modular é usada para estudar números racionais e inteiros quadráticos. Por exemplo, é usada para provar o Teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados.
- Geometria: A função modular é usada para estudar variedades modulares, que são curvas algébricas com simetrias modulares. É essencial para o estudo da teoria das curvas elípticas.
- Física: A função modular é usada em física teórica, particularmente na teoria das cordas e teoria gauge. É usado para construir modelos matemáticos de forças fundamentais da natureza.